Se as expressões em causa são «a um determinado custo» ou «com determinado custo», é claro que ressalta uma diferença, para lá do contraste entre preposições: é que numa ocorre o artigo definido um, e noutra, não. Mas vou considerar que a presença do artigo indefinido não é pertinente para a discussão e concentrar-me-ei apenas nas preposições.

Assim, ambas as preposições são possíveis, mas a frase em que ocorre com pode tornar-se ambígua:

(1) «As obras foram planejadas a (um) determinado custo.»

= «As obras foram planejadas ao custo de X.»

(2) «As obras foram planejadas com (um) determinado custo.»

= «As obras foram planejadas ao custo de X.»
= «As obras foram planejadas com algum custo.» (= dificuldade)

Acrescente-se que «ao custo de», como sinónimo de «ao preço de», é uma expressão correcta.