Tal como indica a grafia, o nome Belchior, variante de Melchior, é pronunciado com o x de mexer ou como o ch de azeviche. Esta pronúncia é válida em qualquer modalidade culta do português.
Só por alguma razão especial é que se lerá Belchior como 'belquior'. Parece ser este o caso do cantor Belchior, cujo nome se pronunciava realmente com [k] (um artigo da Wikipédia em inglês confirma-o). Esta pronúncia talvez reflita a etimologia da forma mais antiga do nome, que é Melchior, supostamente originário de um composto de origem hebraica – melech, «rei» e 'or, «luz»1 –, o qual soaria aproximadamente como "melquior". Assim se explica que a forma Melchior se pronuncia com [k] noutras línguas, por exemplo, em inglês.
Esclareça-se ainda que Melchior não é forma somente brasileira. Na verdade, ela regista-se em Portugal e nos outros países de língua portuguesa, conforme se pode confirmar pelo Dicionário Onomástico Etimológico da Língua Portuguesa, de José Pedro Machado.
1 Cf. Melchior em Behind the Name. Ver também José Pedro Machado, Dicionário Onomástico Etimológico da Língua Portuguesa. A hipótese hebraica é duvidosa, porque o nome não terá tido tradição em hebraico nem registo no Novo Testamento, sendo antes um nome tardio tal como Gaspar e Baltasar, atribuindo-se estes três nomes aos Reis Magos num manuscrito em grego, datado do começo do século VI (500 d. C.) – ler, em francês, "Épiphanie" in Lexilogos.