Os dois verbos são sinónimos quando significam «prolongar (caminhada, tarefa)»: «ele seguiu/continuou o seu caminho». Deixam de o ser, quando seguir é usado na acepção de «ir», «ir atrás de» e «obedecer».
Consultando um dicionário geral, por exemplo, o Dicionário UNESP da Língua Portuguesa (ed. Francisco S. Borba), encontram-se as seguintes definições dos verbos continuar e seguir (excluí as expressões idiomáticas):
A. continuar
verbo transitivo
1. não interromper; prosseguir: Temos de continuar esse trabalho.
2. retomar: Amanhã continuaremos essa conversa.
3. prolongar; estender: O sitiante mandou continuar a cerca até perto do rio.
4. (com predicativo) permanecer; manter-se: As obras continuam paradas.
verbo intransitivo
5. prolongar-se; durar: Segundo a meteorologia, as chuvas vão continuar.
verbo auxiliar (+ gerúndio ou + a + infinitivo)
6. indica continuidade daquilo que o verbo expressa: A criança continuava chorando. A temperatura continua a subir.
B. seguir
verbo transitivo
1 continuar, prosseguir: Nós o chamámos, mas ele seguiu o seu caminho.
2 percorrer: Seguimos a trilha por horas.
3 ir atrás de: O cão segue o dono.
4 ir no encalço de; perseguir: O policial segue o ladrão.
5 acompanhar moral, espiritual ou intelectualmente: Os discípulos seguiam o mestre.
6 agir ou estar em consonância com; atender; obedecer: seguir preceitos; seguir costumes
7 exercer: seguir a carreira de professor
8 cumprir: O soldado segue ordens.
9 prestar atenção em: O réu seguia as palavras do advogado.
10 acompanhar para guardar; escoltar: Batedores seguem o carro oficial.
11 (+ para) tomar certa direcção; partir: A moçada seguiu para a capital.
12 (+ a) ser consequência de: Ao trabalho segue-se o sucesso.
13 estar situado ao lado (de): A copa segue-se à sala.
14 vir logo após; suceder-se: Ao relâmpago segue-se o trovão.
verbo intransitivo
15 transcorrer: Assim a infância foi seguindo.
16 ser levado; ser transportado: A carta não seguiu por falta de selo. A sua encomenda segue amanhã.
17 (Auxiliar) (+ gerúndio) indica a continuação daquilo que o gerúndio expressa: A situação seguia piorando.
Verifica-se que os usos e as acepções 1, 2 e 17 de seguir são semanticamente próximos dos de continuar. No entanto, nas restantes acepções, nas quais se acentuam, literal ou metaforicamente, os traços semânticos relacionados com movimento, seguir contrasta com continuar.
