1. Pode usar o verbo lançar com as duas preposições referidas pelo consulente e até com outras, todas exprimindo a direção do que se lança: a, para, em, contra, por, sobre. Assim o indica o Dicionário Sintático de Verbos Portugueses (Coimbra, Editora Almedina, 1992), de Winfried Busse:

lançar alguém/alguma coisa a — «O Paulo lançou o José ao chão»;

lançar alguém/alguma coisa para — «Lançar os olhos para alguém»;

lançar alguém/alguma coisa em — «Já lancei as despesas nos livros»;

lançar alguém/alguma coisa contra — «Lançou pedras contra a parede»;

lançar alguém/alguma coisa por — «Lançou-se pela rua abaixo»;

lançar alguém/alguma coisa sobre — «Lançaram os cavalos sobre os manifestantes».

2. A preposição entre afeta o uso apenas da palavra período, não podendo referir-se à expressão «de 6 a 9 de setembro». A sequência apresentada pelo consulente está, portanto, incorreta, porque, por norma, a preposição entre pressupõe, pelo menos, dois pontos de referência que delimitam um espaço: «a casa fica entre duas árvores»; a «a casa fica entre as árvores». Se se tratar de tempo, a preposição é seguida por duas expressões referentes aos limites de um intervalo de tempo: «A sala estará ocupada entre as 9h00 e as 10h00.» Não faz, portanto, sentido dizer, por exemplo, «o concurso realiza-se entre um determinado período», porque falta o outro ponto de referência. Correto é referir dois períodos ou duas datas: «entre o período de 6 a 9 de setembro e o período de 20 a 27 do mesmo mês»; «entre os dias 6 e 9 de setembro».

Mesmo assim, se o consulente pretender usar a expressão «período de 6 a 9 de setembro», a preposição adequada é em: «no período de 6 a 9 de setembro». Note-se que, neste caso, a preposição que permite indicar a extensão do período é a, e não a conjunção e. Outra possibilidade, que não viola a semântica de entre, é empregar «no período entre...», como elipse de «no período compreendido entre...», seguido da expressão referente aos limites do intervalo de tempo: «no período compreendido entre 6 e 9 de setembro».

3. Quanto a «dar os primeiros passos...», o consulente pode escrever tanto «da existência» como «na existência», muito dependendo do que pretende sugerir: «dar os primeiros passos da existência» indica que a vida tem uma relação de posse com o referente da expressão metafórica «passos»; com «dar passos na existência», encara-se a existência como o espaço onde se dão esses passos.