De acordo com a maioria dos dicionários consultados¹, nos casos apresentados, nenhum e qualquer não são sinónimos, por isso, e uma vez que o que se pretende dizer é que se aceita [a situação] excluindo todos os problemas que possam existir, então o correto seria: «aceito sem nenhum problema».

O uso de nenhum, de facto, é, aqui «usado para excluir qualquer dos indivíduos da espécie referida pelo substantivo ou pronome a que está ligado; nem um» (Dicionário Houaiss). Já qualquer não tem sentido de exclusão, daí a frase «aceito sem qualquer problema» não poder ser aceite. 

Contudo, a verdade é que qualquer é muitas vezes utilizado, principalmente no discurso oral, com o sentido do pronome indefinido nenhum, i.e., tem emprego em contexto negativo (o dicionário Aulete atesta exatamente isso) e, por isso, a aceitabilidade desta sinonímia parece ganhar força:

«Assim, o telefone pode voltar a ficar em a escola sem qualquer problema, finaliza.» (Público, in Corpus do Português)

«O vereador Mota Alves, que supervisionou a operação, adiantou que a demolição foi feita por máquinas dos serviços camarários sem que tenha havido qualquer problema com a comunidade cigana.» (in Corpus do Português)

Veja-se ainda que nenhum e qualquer podem ser sinónimos se nenhum for utilizado «para designar indivíduo, lugar ou coisa indeterminada; qualquer» (ibidem). Eis dois exemplos:

(1) «Antes que nenhum outro, a Joana cruzou a meta»;

(2) «Antes de qualquer outro, a Joana cruzou a meta».

¹ Houaiss, Dicionário da Língua Portuguesa, Infopédia, Priberam, Michaelis.