Repito, numerando-as, as frases que refere:
2. «Onde ele mora é bonito.»
A frase 1, do meu ponto de vista, é estranha graças ao verbo utilizado. Com estrutura semelhante, aceito melhor uma frase em que ocorra o verbo ver:
1.2. «Estou a ver/estou vendo onde ele mora.»
De qualquer forma, aceitando que o uso de verbo visitar neste contexto é uma característica do português do Brasil, a estrutura entre 1 e 1.1 é semelhante, desempenhando em ambos os casos a relativa livre função de objecto directo do verbo.
Em 2, «Onde ele mora» desempenha a função de sujeito.
Apresento a seguir um pequeno corpus que ilustra, sem pretender ser exaustivo, as funções sintácticas desempenhadas pelos relativos (pronomes, advérbios ou quantificadores) que indica.
4. «Onde vives é agradável.»
5. «Moro onde sempre morei.» (Complemento relativo, ou oblíquo)
6. «O livro está onde o coloquei.» (Predicativo do sujeito)
7. «Vejo quanto te custa a situação.» (Objecto directo)
8. «Vejo quanto te custa esta situação.» (Objecto directo)
9. «Fiz quanto pude.» (Objecto directo)
10. «Quanto fiz, fi-lo por ti.» (Objecto directo)
11. «Dei o meu apoio a quantos precisavam.» (Objecto indirecto)
Em síntese, uma relativa introduzida por onde pode, efectivamente, desempenhar, entre outras, a função de objecto directo, ou a de sujeito. Relativamente a quanto e como, não encontrei exemplos que ilustrem o seu uso em relativas livres com função de sujeito.