Ambos os advérbios de modo, desesperadamente e desesperantemente, estão bem formados e existem em língua portuguesa, como atesta o dicionário Priberam. Contudo, não podem ser considerados sinónimos. Para melhor se entender, reparare-se nos diferentes advérbios:

1. desesperadamente é um advérbio formado pela agregação da terminação -mente ao adjetivo desesperado. Portanto, quando se afirma que «ele bateu à porta desesperadamente », estamos a firmar que ele está em desesperação quando o faz, ou irremediavelmente perdido, furioso ou zangado;

2. desesperantemente, é também formado pela terminação -mente e pelo djetivo desesperante. Afirmar-se que «o processo é desesperantemente lento» significa que o processso se desenrola de modo desesperante. Atendento ao significado de desesperante, percebe-se que o desenrolar deste processo causou desespero, isto é, raiva, zanga, frenesi a terceiros.

Assim, se em 1. a pessoa que pratica a ação nutre os sentimentos associados a «estar desesperado», em 2. é a pessoa que assiste à ação que detém esses sentimentos. Note-se, no entanto, que o advérbio desesperantemente é escassamente utilizado, sendo que se opta por outra construção que contorne este advérbio, como por exemplo «a lentidão com que se desenrola o processo é desesperante». Aqui, em vez de se optar pelo advérbio, recorre-se ao adjetivo desesperante.