Em primeiro lugar, creio que convirá talvez precisar que o verbo chegar, no contexto proposto pela consulente, deverá ser preferencialmente seguido, do ponto de vista da escrita, sobretudo no português europeu (PE), pela preposição a, e não em. Contudo, mesmo no português do Brasil (PB), parece ser essa (chegar + a) a formulação aconselhada, por exemplo, pelo Dicionário Houaiss e pelo Aurélio, ainda que o corpus CETENFolha (Folha de São Paulo) nos apresente múltiplas ocorrências, em contextos compatíveis com o que nos encontramos aqui a analisar, da opção chegar + em (leia-se, a este propósito, a seguinte resposta de Luís Filipe Cunha, que me perece ser elucidativa).

No que diz respeito à pergunta propriamente dita, direi que a formulação mais correta será «Cheguei a casa à meia-noite e vinte», sendo também de aceitar, no PE, «Cheguei a casa às zero horas e 20 minutos», e, no PB, «Cheguei a casa à zero hora e 20 minutos» (Estado de São Paulo; esta resposta de Carlos Rocha).

Já a opção «Cheguei a casa às 24h e 20minutos» não será aceitável, pois parece ficar subentendido que um dia poderá ter mais que 24 horas, o que efetivamente não corresponde à realidade (leia-se, igualmente, esta esclarecedora resposta de D'Silvas Filho).