As duas expressões estão corretas e não conhecemos doutrina que condene «fazer medo».

Ambos os verbos associados são verbos causativos, daí a possibilidade de serem substituídos pro causar no registo formal.

Na secção histórica do Corpus do Português, há atestações do uso de «fazer medo» e «dar medo» em textos literários que pouco se afastam da língua padrão, mesmo na recriação da oralidade no discurso direto:

(1) «Se os mortos vos não dão medo, tratai deles.» (Francisco Manuel de Melo, Apolo, 1640?)

(2) «Só as coisas que não compreende é que lhe fazem medo?» (Branquinho da Fonseca, Rio Turvo, 1945)

É curioso observar que deste corpus não se extraem ocorrências de «dar medo» em português europeu contemporâneo. É preciso encontrá-las em textos anteriores ao século XIX ou em textos do Brasil. Mas este é um aspeto que não leva a concluir que uma expressão é mais correta que a outra, dado que, pelo menos, não intuímos diferença apreciável entre «dar medo» e «fazer medo», que são expressões em uso.

Deve referir-se ainda «meter medo», expressão bastante corrente e sinónima de «fazer medo» e «dar medo». Tem registos dicionarísticos mais frequentes, em subentrada a medo e ocorre com frequência significativa na secção histórica do Corpus do Português:

(3) «Já nem a minha ignorância me metia medo.» (Miguel Torga, A Criação do Mundo, 1948)