As duas formas estão corretas:

1. «Começa-se a pendurar os quadros» = «alguém começa a pendurar os quadros» (sujeito indeterminado).

2. «Começam-se a pendurar os quadros» = «começam a ser pendurados os quadros» (passiva pronominal ou reflexa; cf. M.ª Helena Mira Mateus et al., Gramática da Língua Portuguesa, Lisboa; Editorial Caminho, 2003, pág. 531-533).

A frase «Os quadros começam-se a pendurar» é ambígua, visto duas interpretações serem possíveis:

a) «os quadros começam a ser pendurados»;

b) «os quadros começam a pendurar-se».

A interpretação b) só é válida no plano sintático, porque, do ponto de vista semântico-referencial, as propriedades da palavra quadro (inanimado) não são compatíveis com o uso reflexo de pendurar-se, que prevê a realização de um sujeito por um substantivo com o traço [+animado]: «O macaco começou a pendurar-se em todas as árvores.»