Barém é forma tradicional, resultado do modo como os portugueses do século XVI interpretaram a terminação "-ayn" da palavra árabe (um dual, de acordo com o Dicionário Houaiss). As formas Barein e Bareine surgem atestadas no português do Brasil (ver Dicionário Houaiss) e afiguram-se-me de introdução ou criação recente, talvez influenciadas por transcrições inglesas de uso internacional. Quanto à forma "Baraine", é certamente mais próxima de uma transliteração da forma escrita árabe (بحرين, como informa o consulente), mas não tem tradição em português. De qualquer modo, gostaria de observar que, em muitas variedades do árabe, históricas ou contemporâneas, o a soa como e, fenómeno que é conhecido como imala.1 Sendo assim, é provável que a forma Bareine seja a mais próxima da realidade fonética árabe.
Já o gentílico baremita é realmente discutível, porque muitas palavras terminadas em -em têm gentílico com -n-: Belém > belenense. Normalmente, o critério seguido nestes casos de derivação é de carácter etimológico. Por exemplo, o gentílico de Sudão é sudanês, que pressupõe uma forma do radical Sudan-, mais "próxima da palavra árabe original, conforme se pode verificar no Dicionário Houaiss, onde se encontra o seguinte comentário: «em autores árabes medievais aparece o nome ár. Bilad-al-Suden, Bilad-es-Sudan, modernamente Bilād-as-Sūdan "o país dos negros", fonte do port. Sudão, esp. Sudán, it. ing. al. Sudan, fr. Soudan, cursivos a partir do sXVI-XVII». Posso referir outro caso, o de Lafões, designação de uma região portuguesa: aceita-se a explicação de David Lopes segundo a qual este topónimo vem «do ár[abe] árabe al-akhūān, "os dois irmãos", denominação que se deve ao facto de [que] no local, perto de Viseu, teriam existido dois critérios» (José Pedro Machado, Dicionário Onomástico Etimológico da Língua Portuguesa); sem entrar na discussão de como Lafões pode ser adaptação e evolução de palavra árabe, interessa é verificar que a sequência vogal + n em fim de palavra é transposta em português com ditongo nasal e, por conseguinte, o respectivo gentílico exibe essa consoante: lafonense.
Em suma, a vogal (ou ditongo como em Bahrayn) seguida de n2 que termine palavra árabe ou de outra origem passa a ditongo nasal em português. Seria, portanto, de esperar que o gentílico de Barém tivesse também um n no radical, o qual permite formar, por exemplo, "barenita" ou "barenês". O gentílico baremita é, portanto, discutível, porque, como sugere o consulente, é induzido pela grafia e não pela etimologia nem pela morfologia. Já a forma bareinita me parece aceitável, à luz do que afirmo mais acima.
1 Segundo o Dicionário Houaiss, imala é um «fenômeno fonético próprio de vários dialetos árabes, antigos e modernos, como o dos árabes que ocuparam a península Ibérica, em que o fonema /a/, ger. longo, se pronuncia (em certas circunstâncias), como (e) ou (i); deixou conseqüências na mudança de (a) do latim para (e), como em beldroega, que vem do latim portulaca». Sobre o imala, ver também (em inglês) Kees Versteegh, The Arabic Language, Edimburgo, Edinburgh University Press, 2001, págs. 89, 153, 154, 160, 193.
2 Trata-se do som representado, em português, pela letra n em início de sílaba. Celso Cunha e Lindley Cintra (Nova Gramática do Português Contemporâneo, pág. 45) descrevem-no como uma consoante nasal oclusiva alveolar. Na terminologia proposta por António Emiliano, Fonética do Português Europeu: Descrição e Transcrição (Lisboa, Guimarães Editores, 2009, pág. 125), é uma consoante nasal laminoalveloar.
