Segundo os dicionários Aurélio, Houaiss, Michaelis e Aulete, a palavra brasileiro tem por sinônima a palavra brasiliano (e outras).

Nenhum desses dicionários diz ser um arcaísmo ou decalque (Houaiss menciona que o primeiro registro dessa palavra em língua portuguesa é do século XVIII, sem fazer relação alguma com outra palavra de língua estrangeira).

Certamente seu uso é raríssimo, como se comprova no Corpus do Português (em linguagem jornalística lusitana e brasileira entre 2012 e 2019), preferindo-se quase unanimemente o gentílico brasileiro.

Sempre às ordens!