É complemento directo. O verbo pôr pode ser usado como verbo auxiliar aspectual, como explica o Dicionário Houaiss (s. v. pôr):

«o verbo pôr funciona como auxiliar aspectual quando seguido de a + verbo no infinitivo e indica "começo da ação": pôs-se a cantar; puseram-se a chorar; pu-lo a rir com minha história.»

Como se vê por estes exemplos, -me em «ponho-me a andar» é complemento directo porque o uso não reflexo do verbo, a que se acrescenta um valor causativo (= «fi-lo rir»), mostra que a forma do pronome átono de 3.ª pessoa é a de complemento directo; por conseguinte, quando pôr está associado a pronomes reflexos, estes realizam também essa função sintáctica.