«A fim de»  é uma locução prepositiva que significa «para», indicando propósito, finalidade, objetivo. Também em contexto espanhol, o Dicionário Pan-Hispânico de Dúvidas  assinala que tem o significado de «para ou com o objetivo» e que deve ser seguido de infinitivo.

«A fim que»  é um galicismo que não deve ser utilizado, inspirado em afin que, que, em francês, pede conjuntivo. Em Espanha, a Fundéu, entidade preocupada com a boa utilização oral e escrita da língua castelhana, chama a atenção para a utilização deste queísmo, muito em voga nas notícias divulgadas pelos meios de comunicação social do país vizinho – lendo-se e ouvido-se também muito nos media portugueses. Se se suprimir a preposição de, substituindo-a por que, estar-se-á a incorrer em erro.

Assim, a construção da frase indicada pelo consulente poderia ter duas formulações:

1 – «Envia-se a presente missiva a fim de Vossa Excelência dar o devido seguimento ao processo.»

A frase 1 apresenta a locução «a fim de» a introduzir uma oração subordinada adverbial final de infinitivo («a fim de Vossa Excelência dar o devido seguimento ao processo»). Quando a oração é finita, a locução prepositiva associa-se à conjunção, formando a locução conjuncional «a fim de que», equivalente a «para que», conforme se exemplifica na frase 2:

2 – «Envia-se a presente missiva a fim de que Vossa Excelência dê o devido seguimento ao processo».