A diferença na colocação do acento parece dever-se a como as palavras surgiram em português.
Todas as três apresentam o elemento onic(o)- proveniente do grego ónuks, ónukhos, «unha, garra; ônix (pedra)» (Dicionário Houaiss). Contudo, a história de formação e transmissão de paroníquia parece ser distinta da de oniquia e anoniquia.
Paroníquia é introduzida em português como empréstimo erudito do latim: paronychĭa, ōrum ou paronychĭae, ārum, do «grego parōnukhía, as, "panarício, abcesso na raiz da unha", de pará-, "ao lado" + ónuks, "unha"» (Dicionário Houaiss).
O termo oniquia, do qual deriva anoniquia, vem descrito como onic(o)- + -ia (Dicionário Houaiss).