Não há registos dicionarísticos que atestem o advérbio esquecidamente.

Ainda assim, pode ser considerada uma formação correta do ponto de vista morfológico, uma vez que resulta da junção do adjetivo esquecido com o sufixo -mente, processo na formação de advérbios de modo em português, tal como ocorre em palavras como lindamente ou mundialmente.

Deste modo, embora não seja uma forma consagrada pelo uso, esquecidamente é compreensível e aceitável dentro das regras de formação da língua. Por exemplo, «deixou o livro na mesa, esquecidamente». 

Acresce que este advérbio de modo encontra esporadicmente uso literário:

(1) «Aquele apartamento, quase monacal, de todas as tentações e de todos os ruídos, era a indumenta melhor condizente com o fino ensoamento da sua alma, que ali se comprazia em mergulhar, ESQUECIDAMENTE, numa voluptuosa apatia [...]» (Fernanda Botelho, O Ângulo Raso, 1957, in Corpus do Português).