Não parece que um simples «independente» possa substituir o «independentemente», porque independente é um adjectivo e, como sabemos, os adjectivos ligam-se aos substantivos.

E independentemente é um advérbio. E os advérbios ligam-se aos verbos, aos adjectivos e mesmo a outros advérbios.

Sendo assim, os vocábulos independente e independentemente nunca podem ser substituídos um pelo outro. A não ser que o que pretende seja outra coisa. Se sim, estou ao dispor do prezado consulente.

N. E. – Na norma brasileira, aceita-se o uso de independente (de) em lugar de independentemente (de): «Independentemente/ independente de qualquer oferta, pedirei demissão.» (exemplo de Língua Brasil - Instituto Euclides da Cunha). Em Portugal, este uso não é considerado correto.