Orlando Neves (Dicionário de Frases Feitas e Dicionário de Expressões Correntes) e Guilherme Augusto Simões (Dicionário de Expressões Populares Portuguesas) indicam que, na acepção de «não ter dinheiro», se usam as expressões «teso como um carapau» e «teso como um barrote». Orlando Neves (Dicionário de Expressões Correntes) recolhe também «teso como um virote», mas nas acepções de «pessoa aprumada, direita» e «pessoa de elevada estatura». Calculo, assim, que "birote" mais não seja que uma variante de virote, com a letra <v> pronunciada como [b] (betacismo), característica dos falares do Norte de Portugal. Por conseguinte, «teso como um "birote"» é, à moda do Norte, o mesmo que «teso como um virote».¹

Sobre a origem destas expressões, nada de concreto encontrei. A sua estrutura comparativa, marcada pela conjunção como, não chega para perceber como é que um carapau, provavelmente sem vida, e um barrote, que é qualquer coisa de inerte, podem sugerir a falta de dinheiro. Será porque «estar teso» é estar hirto, sem flexibilidade, sem vida, e é isso que acontece não só aos referentes de carapau e barrote, mas também a quem não tem dinheiro, visto não poder fazer nada?

Mais fácil se torna interpretar «teso como um virote», uma vez que virote é uma «seta curta, forte e grossa» ou «travessa de ferro, nos copos das antigas espadas» (informação de Rui Gouveia), o que permite uma transposição metafórica e sugerir uma pessoa direita ou alta. Fica por esclarecer se a versão nortenha, «estar teso como um "birote", acaba por se confundir com a significação de «teso como um carapau/barrote». A semelhança fonética com barrote pode favorecer essa confusão.

¹ N. E.: F. V. P. da Fonseca adverte que birote designa certo penteado feminino, como, aliás, José Pedro Machado (Grande Dicionário da Língua Portuguesa) indica: «certo penteado feminino que consiste em reunir os cabelos no cocuruto da cabeça.» É claro que não pode ser esta a palavra que ocorre em «teso como um "birote"».