Deve dizer «olhou para um e outro lado», ou seja, fica no singular o substantivo (lado) que ocorre depois de «um e outro».

O substantivo que se segue à expressão «um e outro» fica no singular, mas o verbo correspondente ao todo da expressão pode ficar ou no singular ou no plural, conforme prescreve Evanildo Bechara, na sua Moderna Gramática Portuguesa (Rio de Janeiro, Editora Lucerna, 2003, págs. 547/548):

«Com um e outro, põe-se no singular o determinado (substantivo), e no singular ou no plural o verbo da oração, quando estas expressões aparecem como sujeito:

Alceu Amoroso Lima (...) teve a boa ideia de caracterizar e diferençar o ensaio e a crônica, dizendo que um e outro gênero se afirmam pelo estilo.

Parou um momento e, olhando para um e outro lado, endireitou a carreira..." [Alexandre Herculano, Eurico, 1, 1876, 107]

Mas uma e outra cousa duraram apenas rápido instante." [idem, p. 218].»

Saliente-se que a gramática em referência é brasileira, mas duas das abonações do uso de «um e outro» pertencem a Alexandre Herculano e, portanto, são também válidas para o português de Portugal.

Por último, em nome do Ciberdúvidas, agradeço ao consulente as generosas palavras de apreço e estímulo.