A pergunta é sobre baeta, cujo uso como sinónimo de barbeiro tem origem desconhecida. O mais que os dicionários consultados indicam é que «ir ao baeta» é uma locução popular do português europeu, pelo menos, na modalidade falada em Lisboa.

Sobre a origem desta expressão, não tenho quaisquer elementos que a esclareçam. Mesmo assim, deixo duas sugestões:

1. Baeta está por nome próprio, Baeta (cf. Dicionário Onomástico Etimológico da Língua Portuguesa, de José Pedro Machado), quem sabe se um barbeiro famoso?

2. Talvez baeta tenha que ver com vestuário usado pelos barbeiros ou com alguma peça destinada aos clientes, por exemplo, algum pano que protegesse a roupa de cabelos cortados. Se for este o caso, teremos uma metonímia, porque uma entidade (o barbeiro) passa a ser identificada por outra (por exemplo, um objecto) que lhe está próxima ou associada. Foi isto, por exemplo, que aconteceu a baeta, no sentido de «natural do estado brasileiro de Minas Gerais»: segundo Antenor Nascentes, citado pelo Dicionário Houaiss, «os mineiros têm esse apelido [= alcunha em Portugal] porque antigamente se envolviam em capotes de baeta azul, nas viagens durante o tempo frio, através das estradas montanhosas da província».