Com efeito, quase incide sobre o grupo nominal «todos os desportos».
O grupo preposicional «de quase todos os desportos» desempenha a função sintática de complemento oblíquo, comportando-se na frase como um constituinte único. Por essa razão desempenha uma única função sintática. Se quase incidisse sobre o verbo, teria uma função sintática distinta da do outro constituinte, o que não se verifica neste caso, como o confirma a pronominalização:
(1) «Eu gosto disto.»
e não
(2) «Eu quase gosto disto.»
No interior do grupo de palavras que integra, quase é um advérbio de quantidade que modifica o grupo nominal «todos os desportos», com um valor equivalente a praticamente.
Relativamente à possibilidade de quase ser um quantificador, na Gramática do Português, é proposta a classe dos advérbios quantificacionais (que não está prevista nos documentos que servem de referência ao ensino básico e secundário), que se descreve como pertencente «à classe semântica geral dos quantificadores»1, perspetiva que julgamos ir ao encontro da interpretação da consulente.
Disponha sempre!
1. cf. Raposo et al., Gramática do Português. Fundação Calouste Gulbenkian, pp. 1657 – 1659.