Trata-se de um segmento complexo, que talvez se possa abordar como uma estrutura elíptica, algo como: «[É] triste [o fado ] de quem vivem em casa.»

A seguinte explicação de Evanildo Bechara (Moderna Gramática Portuguesa, 39.ª edição, pp. 616-617/940) dá uma pista:

«5) As construções uma joia de pessoa e o pobre do rapaz

Em vez de uma pessoa joia e o pobre rapaz, em que o núcleo nominal (pessoa, rapaz) se acha acompanhado de um adjunto adnominal (joia, pobre), aparecem, numa forma carregada de afetividade, as expressões uma joia de pessoa e o pobre do rapaz, em que o primitivo adjunto passa formalmente a núcleo e o antigo núcleo passa a adjunto, mediante a presença da preposição de. Nos seguintes exemplos, o adjetivo se flexiona por conta da forma do substantivo:

"Não é muito, dez libras só; é o que a avarenta de sua mulher pôde arranjar..." [MA.4].

Tem-se muito discutido como se formaram estas expressões derivadas, sem que tenhamos uma solução cabal; mas se pode filiá-las a frases exclamativas sem verbo do tipo de "ai de mim!", "pobre de mim!", etc. [FDz.1, III: 131].»

Bechara relaciona, portanto, a estrutura «o pobre do rapaz» com contextos exclamativos como «pobre de mim». 

Este uso encontra paralelo no espanhol, conforme se descreve na Nueva Gramática de la Lengua Espanhola, da Real Academia Espanhola:

««42.13w Com o padrão "adjetivo + de + grupo nominal ou pronominal", formam-se grupos exclamativos adjetivais na língua literária. No primeiro dos textos que se seguem, expressa-se a infelicidade do falante; no segundo, este congratula-se com a felicidade das pessoas que possuem determinada propriedade; no terceiro, lança-se uma ameaça a alguém em relação a um comportamento não verificado:

¡Infeliz de mí! ¿Dónde estoy con mi desdicha? (Parra, King Kong) [Ai de mim! Onde estou com a minha desgraça?]; ¡Feliz del que cautiva con solo el nombre! (Acevedo, Brenda) [Feliz aquele que cativa apenas com o nome!]; ¡Pobre de ella si es así! (Vanguardia [Esp.] 28/2/1995) [Pobre dela, se for assim!].»

É de notar que o exemplo espanhol ¡Feliz del que cautiva con solo el nombre! pode ser transposto em português sem a preposição de: «Feliz aquele que cativa apenas com o nome» ou «feliz o que cativa...».

¹ Ainda sobre esta estrutura Bechara (ibidem) acrescenta: «Ao lado da carga afetiva positiva em construções do tipo o bom do pároco pode ocorrer a carga negativa o burro do cliente, a droga do cliente; neste último caso cria-se uma ambiguidade entre as equivalências "o cliente é uma droga” e "o cliente tem uma droga".»

² Tradução com auxílio da plataforma DeepL: «42.13w Con la pauta "adjetivo + de + grupo nominal o pronominal" se forman grupos exclamativos adjetivales en la lengua literaria. En el primero de los textos que siguen se expresa el infortunio del hablante; en el segundo, este se congratula de la dicha de los individuos que poseen cierta propiedad; en el tercero, se lanza una amenaza a alguna persona en relación con un comportamiento no verificado: ¡Infeliz de mí! ¿Dónde estoy con mi desdicha? (Parra, King Kong); ¡Feliz del que cautiva con solo el nombre! (Acevedo, Brenda); ¡Pobre de ella si es así! (Vanguardia [Esp.] 28/2/1995). El adjetivo concuerda en género y número con el nombre o el pronombre que aparece en el término de la preposición de: Dichoso del que…; Dichosas de las que…, etc. »