O verbo cuidar, no sentido de «tomar conta de alguém», «preocupar-se por», tem regência, isto é, tem um complemento introduzido pela preposição de. Por conseguinte, «de ti» é o complemento preposicional ou oblíquo do verbo cuidar. E, apesar de possível, não é obrigatória a substituição de «por ti» por um pronome, porque ti já é um pronome e a forma adequada depois de uma preposição.

Explicando um pouco melhor, os pronomes pessoais classificam-se como tónicos e átonos. De acordo com a função desempenhada pelo pronome, este pode adquirir diferentes formas. No caso do pronome em questão (tu), este pode adquirir as seguintes formas:

tu — sujeito, predicativo do sujeito ou vocativo;
te — complemento directo;
(a) ti; te — complemento indirecto;
ti, tigo — complemento modificador preposicional.

A forma ti é uma forma oblíqua tónica que se usa apenas antecedida de preposição ou locução prepositiva:

«Gosto de ti.»/«Falaram bem de ti.»/«Passei por ti ontem.»/«Ele convidou-te a ti.»/«Estou atrás de ti.»

Na função de complemento regido de preposição, esta forma refere-se à segunda pessoa gramatical e indica a pessoa a quem se dirige a mensagem, no tratamento por tu.

Com o verbo cuidar, o pronome ti na expressão «de ti» pode ser substituído pelo pronome te, traduzindo-se em expressões com significado equivalente, em casos como:

«Cuida-te.»
«Cuida de ti.»