A frase correta é «agradecemos que emitam a fatura e que no-la façam chegar o quanto antes».

Se substituirmos o complemento direto na segunda oração  («a fatura») pelo pronome pessoal, obtém-se a seguinte frase: «no-la façam.» O pronome pessoal a corresponde ao termo «a fatura». Como ficam a existir na frase dois complementos constituídos por pronomes (nos – complemento indireto; a – complemento direto), utiliza-se primeiro o indireto (nos) e, depois, o direto (a): no-la.

Observe-se que, no caso dos pronomes nos e vos, o s final desaparece, assumindo o pronome pessoal (o, a, os, as) a forma lo, la, los, las.

Os pronomes colocam-se antes da forma verbal – (façam) –, uma vez que a oração é introduzida por uma conjunção subordinativa (que)

Outros exemplos:

A Maria disse que nos deu uma informação. = A Maria disse que no-la deu.

Nós queremos que vos façam chegar a mercadoria atempadamente. = Nós queremos que vo-la façam chegar atempadamente.