Evanildo Bechara, em seu livro Lições de português pela análise sintática, afirma que, neste caso trazido pelo consulente, há um fenômeno sintático chamado prolepse: «é a colocação de uma expressão antes do lugar que a rigor lhe compete», diz o gramático.
Assim, na frase «O tempo parece que passa depressa», o termo «o tempo» é o sujeito do verbo passar, deslocado de sua posição original por motivo de ênfase.
Na ordem normal, a frase seria assim: «Parece que o tempo passa depressa.» Dessa forma, a oração «que o tempo passa depressa» se classifica como subordinada substantiva subjetiva*.
Dito isso e já respondendo objetivamente à pergunta do consulente sobre a possibilidade de orações predicativas terem como verbo de ligação (na oração principal) algum verbo diferente de ser, tal possibilidade não se encontrou – em forma de exemplo – em nenhuma gramática normativa tradicional elaborada por estudiosos brasileiros, como Napoleão M. de Almeida, Rocha Lima, Evanildo Bechara, Domingos P. Cegalla, Celso Cunha. Também foi consultado o livro Gramática do Português, da Fundação Calouste Gulbenkian. Todos apresentaram somente exemplos com o verbo "ser" constituindo a oração principal.
Sempre às ordens!
* Por ser o consulente do Brasil, adotou-se a nomenclatura gramatical brasileira por razões didáticas.