Não, porque os acentos gráficos agudo (´) e circunflexo (^) marcam o acento principal, e, em português, não há palavras com dois acentos principais. A forma *"órgânico" é, pois, incorrecta, e é orgânico a grafia certa. Porquê?

Órgão tem acento agudo, e tanto faz que seja de «organismo» ou de «igreja» — escreve-se da mesma maneira. Órgão é a base de derivação de orgânico, e, nesse processo de derivação, o acento gráfico (e fónico) desloca-se  para a sílaba -gâ-, que tem um a (tradicionalmente chamado) fechado em sílaba tónica.

Se o consulente se está referir ao novo Acordo Ortográfico, saiba que são poucos os casos em que há mudanças na colocação de acento gráfico. Note-se, por isso, que cor não tem acento gráfico, nem sequer no novo acordo — e não importa que seja verde ou uma maneira de saber.