O adjectivo obcecado é, mais frequentemente, seguido da preposição por, mas pode ocorrer com a proposição com.

Em relação ao uso da preposição, ambas as frases são possíveis, mas a segunda parece-me mais feliz pela introdução do vocábulo ideia.

Curiosamente, em ambas as frases parece haver alguma ambiguidade, pois não é claro se tornar-se mulher é algo que se deseja ou que se receia. Pelo conhecimento que temos do mundo, podemos imaginar que a criança está tão ansiosa por crescer, que isso se tornou uma obsessão. Porém, poderá tratar-se de uma criança que, por qualquer motivo, receie crescer.

Por outro lado, assim, descontextualizadas, ambas as frases carecem do verbo, que poderia ser o verbo estar.

Bom trabalho!