Paraboinha parece ser o mesmo que dobadoura, artefacto em que se dispõem as meadas de lã, algodão etc. para estas serem dobadas (enroladas) (cf. Dicionário Houaiss). Não encontro registada a palavra paraboinha nos dicionários consultados (mais antigos, como o de Cândido de Figueiredo e o de Domingos Vieira, ou mais recentes, como o da Academia das Ciências de Lisboa e o Grande Dicionário da Língua Portuguesa da Porto Editora). Contudo, o conto em que a palavra ocorre faculta três contextos que permitem atribuir o significado atrás enunciado (Teófilo Braga, Contos Tradicionais do Povo Português, Lisboa Edições D. Quixote, 2002):

«A mãe da Lua deu à menina uma paraboinha de ouro [...].»

«Puxou da sua paraboinha e pôs-se a dobar.»

«As criadas do palácio viram aquilo e foram-no dizer à rainha, que lhe mandou dizer que queria comprar aquela paraboinha.»

«E pôs para a banda a paraboinha [...].»

Mas parece-me também que paraboinha é diminutivo que pressupõe "paráboa", que pode ser relacionado com parábola. Em princípio, os significados mais correntes de parábola desmentiriam tal relação (Dicionário Houaiss):

1. «narrativa alegórica que transmite uma mensagem indireta, por meio de comparação ou analogia»

2. «lugar geométrico dos pontos em um plano cujas distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa são iguais»

Mas o dicionário de Cândido Figueiredo também define parábola como um regionalismo de Trás-os -Montes (Portugal) que quer dizer «dobadoira dobrada, isto é, com duas ordens de travessas, cruzadas». 

Se pensarmos que o -l- intervocálico latino cai em português e galego medievais, como acontece com tábua, que evoluiu do latim tabula, é possível aceitar paráboa e parábola como termos que divergiram do latim parabŏla. A forma paravoa está de resto atestada na Idade Média como variante de palavra, que também evoluiu de parabŏla. Em conclusão, paraboinha é um arcaísmo algarvio que ocorre num conto tradicional recolhido por Teófilo Braga e significa «pequena dobadoura».