As formas dos pronomes pessoais variam conforme a função que têm na oração: de sujeito (ou de nome predicativo do sujeito), e então são os nossos velhos conhecidos eu, tu, ele, nós, vós, eles; de complemento (directo, indirecto ou outro), e então a lista é longa, porque há os reflexos, os átonos e os tónicos... (Para ter uma relação completa, será melhor consultar uma boa gramática) Entre os pronomes pessoais de complemento está mim, bem como comigo, ti, contigo etc., que deve ser usado apenas quando é complemento numa oração. Repare nos seguintes exemplos:

1) A ti não direi nada - complemento indirecto: «a ti»;

2) É a mim que ela ama - complemento directo: «a mim»;

3) Este bolo foi feito por mim - compl. agente da passiva: «por mim»

4) Este trabalho é para mim - adjunto adverbial: «para mim»

Na expressão que refere, o predicado fazer exige um sujeito, que naturalmente deve ser o pronome pessoal de sujeito eu: «este trabalho é para eu fazer» será a forma correcta.