Relativamente à primeira questão apresentada sobre o uso das preposições a ou de em fogão a/de lenha, importa analisar a função das preposições.

Preposições são as palavras invariáveis que relacionam dois termos […], de tal modo, que o sentido do primeiro (antecedente: «fogão») é explicado ou completado pelo segundo — consequente — «lenha» (Celso Cunha e Lindley Cintra, Nova Gramática do Português Contemporâneo, Lisboa, Sá da Costa, p. 551).

Por sua vez, a relação que se estabelece entre as duas palavras ligadas por intermédio das preposições a e de, geralmente, implica a ideia de movimento ou de situação (espacial, temporal e nocional). Aqui, estamos perante um caso de uma relação de situação nocional, pois implica a da especificação das características do fogão, mais propriamente sobre a matéria que usa como fonte de calor.

Trata-se, portanto, de um fogão que trabalha/funciona ou que é movido a lenha, a matéria sem a qual não cumpre a sua função: aquecer ou cozinhar.

O uso de a, tão frequente nesta estrutura, deve-se precisamente ao facto de ser essa a preposição que esses três verbos – trabalhar, funcionar, mover – pedem (a regência) para designarem o material necessário. O Dicionário da Língua Portuguesa Contemporânea, da Academia das Ciências (2001), regista precisamente «fogão a gás», «fogão a lenha» para designar a fonte de calor que lhe permite cozinhar os alimentos.

A mesma fonte atesta o uso da preposição de para fogão nos casos em que especifica as características físicas do próprio aparelho, como, por exemplo, em «fogão de duas, três ou quatro bocas», «fogão de dois, três ou quatro bicos», «fogão de sala».

No entanto, apercebemo-nos de que no quotidiano se diz «forno de lenha», forma esta que se vulgarizou e que foi decalcada para «fogão de lenha». Apesar de não ser a estrutura correcta, a força do uso tem vindo a querer impor-se.

Em relação à questão sobre vaivém e vai e vem, há já uma resposta publicada sobre esse assunto.