Os verbos fechar e encerrar são, na grande maioria dos casos, sinónimos. Distinguem-se, quando fechar significa¹:

1. tapar ou vedar (uma abertura, passagem ou acesso) – exemplo: «fechei a torneira»;

2. unir, juntar as duas partes ou extremidades de – exemplo «fechei o casaco»;

3. cicatrizar – exemplo: «a ferida já fechou»;

4. calar-se; retrair-se – exemplo: ««está muito fechado hoje, não fala!»;

5. tornar-se mais denso ou mais escuro – exemplo: «hoje, o tempo está fechado». 

Também não o são, se encerrar significar¹: 

1. ter em si; conter, incluir – exemplo: «a tua carta encerra elogios a mim»;

2. pôr fim a; terminar – exemplo: «encerrei o expediente por hoje»;

3. não ir além de; limitar-se – exemplo: «os seus conhecimentos se encerravam nas primeiras letras». 

De referir, ainda, que, mesmo quando sinónimos, se nota uma diferença no uso: o verbo fechar é o verbo mais corrente (1), mas o verbo encerrar é de uso mais formal (2):

(1) «O restaurante fecha às 23h»;

(2) «O restaurante encerra às 23h». 

¹ Definições retiradas do dicionário Infopédia.