A expressão tem duas variantes «larear a pevide» e «laurear a pevide». Larear é o mesmo que andar ao laré, ou seja, «vadiar», «não fazer nada», e pevide significar «nada», «cu», «rabo». Quanto a laurear, trata-se de uma variante de larear.

Parece-me que a origem da expressão será semelhante à da formação de uma outra, «andar de cu tremido», isto é, «andar de automóvel», que pode adquirir extensões semânticas como «andar a passear» e «não fazer nada». Enquanto «larear/laurear» a pevide pertence ao registo familiar, «andar de cu tremido» já se enquadra num registo mais baixo, com intenção jocosa ou ofensiva.1

1 Marcus Túlio Flores escrever-nos do Brasil para sugerir que laurear não é um variante de larear, antes se tratando do próprio verbo laurear na acepção de «tornar (algo) atraente, agradável; adornar, enfeitar», como aliás indica o Dicionário Houaiss; assim, considera que a expressão em apreço tinha originalmente a forma «laurear a pevide» com o sentido de «dourar a pílula». Note-se, contudo, que o Dicionário Houaiss indica que laurear é também a variante de larear. Deste modo, eu não diria que a expressão original seja a proposta pelo consulente, mas que, porque se perdeu a noção do significado de larear, se optou por a motivar, identificando-a com um verbo  foneticamente próximo, laurear. Mantenho, por conseguinte, que a expressão original era «larear a pevide», agradecendo, de qualquer maneira, a sugestão.