Que é, neste caso, e segundo o Dicionário Terminológico (DT), um determinante interrogativo,  porque ocorre com um nome — «coisa» — numa construção interrogativa, permitindo a identificação do constituinte interrogado.

De facto, este que (com valor de qual — «qual coisa») introduz uma construção em que está implícita uma interrogação/pergunta formulada indirectamente, o que a integra no tipo de frase interrogativa indirecta.

No entanto, o conceito de tipos de frase distingue-se do de oração, apesar de os dois pertencerem ao domínio da sintaxe, e se referirem à mesma construção — «que coisa ela quer ter». Por isso, quanto à sua classificação no âmbito das orações, esta frase é uma oração subordinada substantiva completiva, porque é complemento directo do verbo da oração subordinante.

Uma vez que nesta resposta se interligam várias realidades linguísticas, considera-se pertinente citar alguns excertos, bastante esclarecedores, do DT, em que na explicitação do tipo de frase interrogativa se estabelece relação com as orações a que pode corresponder:

     [Dentro do] «(tipo de) frase interrogativa […], as interrogativas directas (Comeste a sopa?) podem ser frases simples, enquanto as interrogativas indirectas (O João perguntou [se comeste a sopa]) são subordinadas substantivas completivas.

Por sua vez, relativamente às orações subordinadas substantivas completivas, são-nos fornecidas as seguintes indicações:

     Oração subordinada substantiva que é sujeito ou complemento de um verbo, nome ou adjectivo, podendo ser introduzida pelas conjunções subordinativas completivas que (i), se (ii) e para (iii). As subordinadas substantivas completivas podem ser finitas ou não finitas (iv), consoante o verbo se encontre numa forma verbal finita ou não finita.

     Exemplos