O verbo verificar pode ser:
a) transitivo directo, significando comprovar, investigar, examinar, constatar.
b) pronominal com sentido de ocorrer, acontecer, efectuar-se.
Na frase em apreço o sentido é o de examinar, pelo que estamos perante o verbo verificar não pronominal, e o que me surpreende na frase não é a construção em que entra o verbo verificar, é a certeza de que há erros no texto. A menos que a frase ocorra num contexto em que se saiba, à partida, que há erros, seria preferível modalizar o discurso e dizer «…que possam conter.»
De resto, a frase parece-me adequada, tal como as duas alternativas que coloca. Vejamos:
(1) Nos textos, é necessário verificar os erros que contêm.
(2) Nos textos, é necessário verificar-se que erros contêm.
(3) Nos textos, é necessário verificarem-se os erros que contêm.
Em (1) a expressão os erros é parte integrante do complemento directo de verificar, que, na sua forma completa, inclui a frase relativa «que contêm». Sendo o verbo verificar um verbo transitivo directo, não há qualquer problema com este complemento.
Em (2) o que o consulente fez foi:
a) explicitar um sujeito gramatical através do pronome indefinido -se. Friso gramatical, porque, do ponto de vista da informação, ficamos na mesma. Excepto para os interlocutores do contexto em que a frase foi pronunciada, a entidade que vai verificar os erros é tão desconhecida em (1) como em (2). E o português, por um lado, não exige que o sujeito esteja expresso, salvo em raras excepções de que o excerto da frase em análise não faz parte. E refiro-me ao excerto em análise, porque na frase ocorre uma situação em que o sujeito tem de ser explicitado: trata-se do sujeito de «é necessário» que é, afinal, «verificar os erros que contêm»… por outro lado, porque existe em português o infinitivo conjugado, não podemos garantir que o que está ali não é a primeira ou a terceira pessoa idênticas, na maioria dos casos ao infinitivo simples.
b) transformar um complemento directo constituído por um núcleo nominal precedido de uma frase relativa, num complemento directo constituído por uma frase interrogativa indirecta, introduzida pelo pronome relativo de valor interrogativo que. A estrutura de base do verbo mantém-se. Ele continua a ser transitivo directo.
O fa(c)to de o verbo vir seguido do complemento directo impede que a frase possa ser ambígua e que o se introduzido possa ser entendido como parte integrante do verbo, que seria, então, pronominal e teria outro sentido.
Na frase (3), o sujeito passa a ser os erros, e a partícula se tem um valor apassivante.
Do meu ponto de vista, e salvaguardada a referência que fiz quanto à afirmação «que contêm», as três frases correspondem a três formas distintas de dizer a mesma coisa.
Alerto apenas para o facto de o verbo verificar não ser, em nenhum contexto que eu conheça, reflexo. Ele é, efectivamente, pronominal, mas não reflexo. Para o ser, seria preciso que a acção enunciada recaísse sobre quem a pratica, como em lavar-se: uma pessoa que se lava, lava-se a si própria.