Vejamos, então, as frases:

1. Ele tornou-se um bom médico.
2. Ele tornou-se num bom médico.

Ambas as construções são correctas. Julgo que a dúvida está na frase b). Para se compreender claramente, é necessário servirmo-nos dos conhecimentos de gramática.

Em ambas as frases, o predicado é tornou-se, em que o pronome se é complemento directo.

É evidente que, na frase a., o elemento um bom médico é o predicativo do complemento directo – de se.

Na frase b., o predicativo do complemento directo está regido da preposição em: num bom médico = em um bom médico.

A construção da frase b. usou-a o nosso Camões em "Os Lusíadas":

"Que afagos tão suaves, que ira tão honesta,

Que em risinhos alegres se tornam!" (IX, 83).

Conclusão: a frase b. está correcta.