A inscrição da placa está correcta.
Com esse aviso, pretende dizer-se "É proibido o acesso a cães e bicicletas.", "É proibido entrarem cães e bicicletas", "É proibido que cães e bicicletas entrem.". Não são proibidos os cães e as bicicletas, mas o seu acesso, a sua entrada. Está, pois subentendido, este sujeito.
Nesta situação há que atender a dois aspectos. Em primeiro lugar, estamos perante um enunciado sem núcleo verbal expresso, pois trata-se do caso especial de uma inscrição em placa (o mesmo se verifica em cartaz, rótulo, etiqueta, etc.), em que o contexto e a intencionalidade levam à adopção de expressões simples, tipificadas. Por outro lado, e decorrente deste primeiro aspecto, a concordância pode não ser feita tendo em conta apenas as palavras expressas, mas sim todo o conjunto oracional subentendido. No caso presente, o sujeito de "é proibido", aqui reduzido a "proibido" é, afinal, um sujeito oracional, também ele em parte subentendido ("que cães e bicicletas entrem"), o que leva à aplicação da regra: "Fica no singular o verbo que tem por sujeito uma oração, que, tomada materialmente, vale por um substantivo do número singular e do género masculino." (Cf. Evanildo Bechara, Moderna Gramática Portuguesa, 37.ª ed., 1999, p. 565.).