Em princípio, parece-nos que este namoro não vai dar casamento porque as palavras agrupadas por justaposição devem constituir uma unidade quanto ao significado. Francamente, parece-nos que não há unidade nem se forma um novo vocábulo. Portanto, preferimos que não haja hífen e que se usem mais palavras para explicar esta unidade. Assim, “A parceria de uma instituição pública com uma instituição privada”.

Se alguém insistir no casamento, então sugerimos o plural parcerias público-privadas.