Geralmente, o nome da capital da Sardenha mantém a forma italiana em português: Cagliari, Cagliari1.
É difícil achar uma forma portuguesa de Cagliari que possa ser considerada usual. Na verdade, este topónimo não é dos mais correntes na comunicação social em português, a não ser em páginas turísticas sobre a Sardenha ou quando se refere um clube de futebol, o Cagliari Calcio ou, simplesmente, Cagliari (cf. Corpus do Português, de Mark Davies).
Apesar disso, regista-se Cálher, que não se deteta atualmente e cuja configuração sugere empréstimo do castelhano Cáller, por sua vez, adaptação do catalão Càller. Cálari é outra possibilidade, de uso muito raro, que parece provir do latim Calăris, variante de Carălis. Conta-se ainda Cálhari, um aportuguesamento fonético e ortográfico do italiano Cagliari. Estas três formas ocorrem no artigo da Wikipédia sobre a cidade italiana em apreço, mas, como foi dito, ocorrem muito raramente.
Quanto ao adjetivo, sugere-se aqui transpor-se para português a forma italiana sem alterações: cagliaritano.
Fontes: Dictionnaire Gaffiot latin-français, 1934; Ivo Xavier Fernandes, Topónimos e Gentílicos, 1941, p. 53; José Pedro Machado, Dicionário Onomástico Etimológico da Língua Portuguesa; Vocabulário Onomástico da Língua Portuguesa da Academia Brasileira de Letras, 1999.
1 O nome em língua sarda é Castéddu, que evoluiu do latim castellum.