Concordo com que se use o que em relação a um serviço, neste caso a ADSE (Assistência na Doença aos Servidores Civis do Estado), em Portugal. Com efeito, do ponto de vista semântico, a ADSE é um serviço dentro do Estado português e, como tal, não é um ser humano.

No entanto, calculo que a intenção do uso de quem é a de humanizar esse serviço, sugerindo a possibilidade de uma relação mais pessoal. Nessa perspectiva, seria de esperar, por exemplo que na página referida na pergunta se identificassem as pessoas (funcionários) que constituem esse organismo de assistência. Contudo, não é o que acontece, limitando-se o texto a definir as atribuições do serviço em apreço.