Se nos ativermos ao que é dito no Compêndio de Gramática Portuguesa de Nunes de Figueiredo e Gomes Ferreira (Porto Editora, 1976, págs. 63/64), vemos que a preposição com pode introduzir vários tipos de complemento circunstancial:
(a) tempo: «levanta-se com o romper da manhã»;
(b) modo: «Lê com atenção»; «Procede sempre com lealdade»;
(c) companhia: «Vive com a família»; «Dei um passeio com a neta»;
(d) causa: «Não durmo de noite com pavor»;
(e) concessão: «Com oitenta anos, ainda lê sem óculos»;
(f) meio ou instrumento: «Fecho a porta com o ferrolho»; «Feri-me com a faca».
A frase «entrou com a régua na mão» apresenta um complemento circunstancial que se aproxima do exemplo (b), pelo que, dentro do que me parecem os limites da análise de Figueiredo e Ferreira, considero que na frase em questão ocorre um complemento circunstancial de modo. De facto, o referido complemento reporta-se ao modo ou à maneira como se verificou a entrada de alguém. No entanto, havendo mais contexto, podemos também ver nesse complemento a ideia de meio ou instrumento («conseguiu entrar brandindo uma régua»). É possível até considerar a ideia de companhia, embora tenhamos a dificuldade de o complemento de companhia típico incluir um nome descrito como humano, o que não é o caso de régua.
Uma análise alternativa, mas já recorrendo a uma concepção de predicativo que não é a mais tradicional, pelo menos, em Portugal, é a de Evanildo Bechara (Moderna Gramática Portuguesa, pág. 428-431). Este gramático propõe a existência de anexos predicativos, constituídos por adjectivos e que, associados a verbos transitivos («ele ouviu atento os conselhos») ou intransitivos («o comboio chegou atrasado»), podem referir-se «ao sujeito [cf. os exemplos atrás], ao complemento direto ["encontrou a porta arrombada"], complemento relativo ["tratou-se da questão como insolúvel"] e ao complemento indireto ["chamaram-no tolo"]» (ibidem). Note-se, porém, que Bechara distingue este predicativo dos predicativos associados aos verbos de ligação (p.ex., ser, estar, ficar, etc.), por ser normalmente representado por um adjectivo e por poder comutar não com o pronome o, mas com advérbio assim, remetendo para a substituição adverbial: «ouviu atendo os conselhos» = «ouviu os conselhos atentamente». Não sendo «com a régua» um advérbio, o seu valor adverbial possibilita a correspondência com tais predicativos. De qualquer modo, trata-se de um caso que não se encontra descrito com clareza no quadro tradicional.