Na tradição gramatical brasileira*, em âmbito pedagógico, costuma-se classificar uma frase nominal como qualquer enunciado comunicativo desprovido de verbo, como em «Fogo!», numa situação em que o prédio está em chamas, ou «Estacionamento sem vagas a partir das 20h», numa placa de um grande evento. Por outro lado, uma frase verbal é aquela que apresenta pelo menos um verbo em sua constituição, é iniciada por letra maiúscula e termina em algum sinal de pontuação marcador do desfecho de uma ideia completa, como em «A casa era assombrada!» ou «Já sabem se o restaurante estará aberto amanhã para nos receberem em comemoração ao dia do seu aniversário?».

Dito isso, há na língua portuguesa frases verbais com elipse de certos elementos, tornando-a formalmente condensada. É o caso de «Proibido fumar/estacionar», que equivale a «(É) proibido fumar/estacionar», no qual o segmento «(É) proibido» constitui uma locução verbal. Assim, trata-se de frase verbal com o verbo auxiliar (ser) implícito. Se explícito, como em «É proibido fumar/estacionar», a análise é a mesma: trata-se de frase verbal.

Quanto ao segmento «Entrada proibida», visto em avisos afixados em portas por onde não se pode entrar sem autorização, há, de fato, uma frase nominal, pois se interpreta essa expressão como um substantivo (entrada) seguido de um adjetivo (proibida), formando um enunciado de valor inegavelmente comunicativo.

Sempre às ordens!

* Por ser brasileiro o consulente, foi empregada a nomenclatura gramatical do Brasil nesta resposta.