Não, não é correcto, embora as palavras sejam parecidas: diz-se «enveredar (e não "envergar") por uma carreira». Com efeito, enveredar significa «seguir por uma vereda; tomar um caminho» e, em sentido figurado, «indicar um caminho a; fazer seguir ou seguir determinado caminho (em sentido intelectual, ideológico ou moral); orientar, encaminhar, guiar». Quanto a envergar, quer dizer «prender (a vela) na verga ou vergueiro ("varão")»; «tapar, cobrir com vergas»; e, por analogia, de uso informal, «usar roupa ou veste; trajar, vestir». Significa, ainda, «abater(-se) como faz a verga; tornar(-se) curvo; arquear(-se)».

[Fonte: Dicionário Eletrônico Houaiss]