A frase proposta pela consulente apresenta uma diversidade de relações de subordinação e coordenação. Assim:

a) As frases «Devo a minha vida a meus pais e também ao nosso grande amigo médico Luís» são coordenadas copulativas.

b) Em «Devo a minha vida a meus pais, que ficaram maravilhados com o meu nascimento», a frase sublinhada é subordinada relativa explicativa, tal como a frase «que assistiu ao parto», a qual deverá ser precedida de vírgula.

c) A frase «que eu morresse» será subordinada completiva, de acordo com a atual designação, que corresponde à oração integrante da gramática tradicional luso-brasileira.

Nota: Para obter informação adicional acerca das frases subordinadas completivas, poderá ser consultada esta resposta e, ainda, a Gramática da Língua Portuguesa, de Maria Helena Mira Mateus e outros (Editorial Caminho, 2003, pp. 595 e seguintes).