«Chegado a casa, sentou-se à mesa.»
«E chegado a casa, sentou-se à mesa.»
«Tendo chegado a casa, sentou-se à mesa.»
São formas adequadas, mas a expressão “Em chegado a casa...” não tem uso nem justificação.
A expressão «Chegado a casa» provém de uma construção latina denominada ablativo oracional.
Neste caso, o ablativo não era antecedido de preposição, e a forma correspondente da língua portuguesa também não é antecedida de preposição.