Bebé
Conforme diz, bebé vem do francês «bébé», em que é pronunciado ¦bêbê¦. Por um fenómeno conhecido como retorno da escrita sobre a fonia, penso que o falante português interpretou o acento agudo na grafia francesa como abertura da vogal (em francês fecha, como sabe) e passou a pronunciar ¦bébé¦. Os brasileiros respeitam mais a pronúncia original, pois escrevem bebê.
A razão de haver um só acento pode atribuir se ao facto de que quando a palavra é paroxítona (forma verbal bebe, de beber), se pronuncia ¦bébe¦; e só o outro e precisa de acento em bebé.
Nome
As obras recentes recomendam ¦nôme¦ para nome, como ¦sôno¦ em sono (mas ¦fóme¦ para fome...). Ora a pronúncia de nome a que estou habituado aproxima-se mais de ¦nóme¦. Em qualquer dos casos, a sílaba tónica é sempre a primeira (veja se não está a fazer confusão entre sílaba tónica e vogal aberta).
Oito
A pronúncia de oito a que estou habituado é ¦ôito¦.
Sublinho, finalmente, que nenhuma das pronúncias por mim indicadas invalida outras, que serão igualmente correctas na comum língua (nomeadamente até no nosso país), se adoptadas correntemente por comunidades escolarizadas.

Ao seu dispor,

Cf. Noite vs. oito