1) Antes de passar à resposta, é preciso esclarecer o que se entende por «classificação morfológica». Na Nomenclatura Gramatical Portuguesa de 1967, entendia-se que a morfologia englobava a flexão de palavras, as categorias gramaticais e as classes palavras, enquanto a estrutura interna das palavras, a sua variação e a sua formação pertenciam ao domínio da lexicologia. Na nova terminologia adoptada em Portugal (2004), define-se morfologia como «disciplina linguística que descreve e analisa a estrutura interna das palavras e os processos morfológicos de variação e formação de palavras.» Por outras palavras, o âmbito da morfologia reduziu-se, porque não abrange as classes de palavras, as quais passam a ter um domínio próprio na Termnologia de 2004.

Suponho que a pergunta ainda tem como referência a identificação, até há pouco tempo corrente, de morfologia como classificação de palavras. Deste modo, a «classificação morfológica» aqui apresentada será praticamente o mesmo que identificar a classe de palavras a que pertence cada forma. A terminologia é que já é a de 2004 (nalguns casos, como a flexão verbal, recorro ainda à Nomenclatura de 1967).
Respondendo agora à pergunta:

Quanto: quantificador relativo ou interrogativo.
Clio: nome próprio
foi: pretérito perfeito do indicativo do verbo ser
por: preposição
quatrocentos: adjectivo numeral
o: artigo definido ou pronome pessoal de 3.ª pessoa do singular
não: advérbio de nagação
castigo: nome comum
novas: adjectivo feminino plural

Repare-se que algumas palavras podem corresponder a duas classes ou mais classes morfológicas.

2) Aqui, a análise sintáctica mantém o princípio de classificar as palavras quanto à função que desempenham numa dada frase.

Clio, musa da História: sujeito
musa da História: aposto (agora, também designado por modificador apositivo do nome)
adormeceu enfadada: predicado
enfadada: predicativo do sujeito.