Segundo Celso Pedro Luft, no Dicionário Prático de Regência Verbal, o verbo faltar é um verbo intransitivo (por exemplo, em «faltam recursos», «recursos» é sujeito) ou transitivo indirecto [«faltam-lhe recursos», em que «lhe» é o complemento indirecto]. No caso apresentado pela pergunta, a ambiguidade da frase motiva duas leituras.

Numa dessas interpretações, faltar é um verbo transitivo indirecto, dado que selecciona um complemento que é regido pela proposição a. Assim, temos a análise A (de acordo com a nova Terminologia para o Ensino Básico e Secundário – TLEBS):

A. «À minha entrada faltou» – predicado
«À minha entrada» – complemento indirecto
«solenidade.» – sujeito

Sabe-se que «À minha entrada» é complemento verbal, porque «À minha entrada» pode ser substituído pelo pronome lhe: «faltou-lhe solenidade».

Contudo, é possível fazer outra leitura da frase, já que o constituinte «À minha entrada» é equivalente a uma oração adverbial de tempo, «quando eu entrei». Esta equivalência é possível porque o item entrada é um derivado de entrar, que mantém algumas das propriedades deste verbo, significando «a(c)to de entrar». Deste modo, chegamos à análise B:

B. «À minha entrada faltou» – predicado
«À minha entrada» – modificador preposicional do grupo verbal
«solenidade.» – sujeito

Nesta análise, o verbo faltar é intransitivo, porque não selecciona nenhum complemento. Porém, o modificador «À minha entrada» faz parte do predicado, porque marca uma circunstância de tempo que situa «faltou». Não é complemento, visto que não pode ser substituído por lhe: «À minha entrada faltou solenidade»/*«Faltou-lhe solenidade».

Esta agramaticalidade torna-se perceptível, se substituirmos o constituinte por uma frase (ou oração) subordinada adverbial temporal: «Quando entrei faltou solenidade»/
/*«Faltou-lhe solenidade». Note-se que em B é possível colocar uma vírgula a separar do resto da frase o constituinte preposicionado ou a oração equivalente («À minha entrada/Quando entrei, faltou solenidade»), enquanto na leitura A, com o complemento indirecto, o mesmo não é possível (*«À minha entrada, faltou solenidade»).