O verbo tamborilar, numa das suas acepções (aquela que é usada no exemplo), significa «tocar com os dedos numa superfície, imitando o rufar de um tambor» e é intransitivo.

Assim, a expressão correcta é «tamborilar na mesa», uma vez que este verbo não selecciona nenhum complemento. A informação relativa ao modo como se toca na mesa («com os dedos») já está contida no significado do verbo tamborilar.