Dado que tapilho é um vocábulo que significa «tapete» ou «pano de cobertura», não dar tapilho deve querer dizer não dar cobertura, possivelmente em sentido figurado.
Tapilho é um diminutivo de tapete, formado com o sufixo -ilho, que não é tão produtivo como a forma correspondente em castelhano, “-illo”.