A expressão «ao máximo» parece ser a mais apropriada ao exemplo que refere. Se consultarmos o Corpus do Português de Mark Davies e Michael Ferreira, verificamos que esta expressão, que tende a comportar-se como uma só unidade lexical, ocorre em grau significativo; p. ex.:

1. «Cada empresa procura diversificar ao máximo os canais que vão transmitir informações[...].»

2. «Tentei me esforçar ao máximo, mas não teve jeito.»

No Dicionário Estrutural, Estilístico e Sintático da Língua Portuguesa, de Énio Ramalho, regista-se também a locução adverbial em análise: «máximo, ao: daí a preocupação das autoridades em tentar evitar, ao m[áximo], que o mal se propague (até onde for possível).»

No caso apresentado pela consulente, confesso que «respeito-o o máximo» me parece estranho e que «respeito-o ao máximo» se me afigura mais natural. No entanto, há situações em que as duas expressões são possíveis, como se ilustra nos seguintes exemplos:

3. «Esforcei-me ao máximo.»

4. «Esforcei-me o máximo.»

Em 4, a locução «o máximo» parece substituir a locução exemplificada em 3, sem que, de uma forma intuitiva, a possamos considerar agramatical.

Note-se, contudo, que, com base em várias ocorrências, é legítima a generalização segundo a qual «o máximo» é expressão utilizada como complemento direto, em contraste com a locução adverbial «ao máximo», em posição de modificador na frase:

5. «Dei o máximo» (complemento direto).

6. «Respeito-o ao máximo» (ao máximo = muitíssimo).